一元二次不等式的解法穿根法

一元二次不等式的解法中的穿根法，也称为因式分解法，是解决一元二次不等式的一种方法。以下是使用穿根法解一元二次不等式的步骤：

1. 将不等式标准化：

将不等式转换成标准形式 (ax2 + bx + c > 0) 或 (ax2 + bx + c < 0)。如果需要，可以通过乘以-1（不等式方向改变）或除以系数（不等式方向保持不变）来实现。

2. 因式分解：

将一元二次不等式的左边因式分解。如果 (ax2 + bx + c) 可以因式分解，那么它会分解成两个一次因式的乘积形式，即 ((x r_1)(x r_2) = 0)，其中 (r_1) 和 (r_2) 是方程 (ax2 + bx + c = 0) 的根。

3. 确定根的值：

解方程 (ax2 + bx + c = 0)，找到 (r_1) 和 (r_2) 的值。

4. 穿根测试：

将数轴分为三部分：(x < r_1)，(r_1 < x < r_2)，和 (x > r_2)。然后，选择每个区间中的一个测试点，代入原不等式 (ax2 + bx + c > 0) 或 (ax2 + bx + c < 0)，来确定不等式在哪个区间内成立。

5. 确定解集：

根据穿根测试的结果，确定原不等式的解集。如果 (ax2 + bx + c > 0)，则解集是所有使得不等式成立的 (x) 的集合；如果 (ax2 + bx + c < 0)，则解集是所有使得不等式成立的 (x) 的集合。

以下是一个具体的例子：

解不等式 (x2 5x + 6 < 0)。

1. 标准化：不等式已经是标准形式。

2. 因式分解：(x2 5x + 6 = (x 2)(x 3))。

3. 确定根的值：(r_1 = 2)，(r_2 = 3)。

4. 穿根测试：

当 (x < 2) 时，取 (x = 1)，代入不等式得到 (12 5 cdot 1 + 6 = 2 > 0)，不成立。

当 (2 < x < 3) 时，取 (x = 2.5)，代入不等式得到 (2.52 5 cdot 2.5 + 6 = 0.25 > 0)，不成立。

当 (x > 3) 时，取 (x = 4)，代入不等式得到 (42 5 cdot 4 + 6 = 2 > 0)，不成立。

5. 确定解集：因为不等式 (x2 5x + 6 < 0) 在 (2 < x < 3) 的区间内成立，所以解集是 ((2, 3))。