解一元二次不等式——详细步骤及应用实例

解一元二次不等式通常涉及以下步骤：

步骤 1：化简不等式

将不等式化简为标准形式，即 (ax2 + bx + c > 0) 或 (ax2 + bx + c < 0)，其中 (a)、(b) 和 (c) 是实数，且 (a neq 0)。

步骤 2：求解对应的二次方程

将不等式中的不等号改为等号，得到对应的二次方程 (ax2 + bx + c = 0)。使用求根公式（二次公式）求解该方程，得到两个根 (x_1) 和 (x_2)。

步骤 3：确定根的顺序

比较 (x_1) 和 (x_2) 的大小，确定它们在数轴上的顺序。

步骤 4：分析不等式的解集

根据 (a) 的正负，以及 (x_1) 和 (x_2) 的顺序，分析不等式的解集。

当 (a > 0) 时：

如果 (x_1 < x_2)，则不等式 (ax2 + bx + c > 0) 的解集是 ((-infty, x_1) cup (x_2, +infty))。

如果 (x_1 > x_2)，则不等式 (ax2 + bx + c > 0) 的解集是 ((-infty, x_2) cup (x_1, +infty))。

当 (a < 0) 时：

如果 (x_1 < x_2)，则不等式 (ax2 + bx + c < 0) 的解集是 ((x_1, x_2))。

如果 (x_1 > x_2)，则不等式 (ax2 + bx + c < 0) 的解集是 ((x_2, x_1))。

应用实例

例 1：解不等式 (x2 5x + 6 < 0)

1. 化简不等式：不等式已经是标准形式。

2. 求解二次方程：(x2 5x + 6 = 0)，解得 (x_1 = 2)，(x_2 = 3)。

3. 确定根的顺序：(x_1 < x_2)。

4. 分析解集：因为 (a = 1 > 0)，所以解集是 ((2, 3))。

例 2：解不等式 (x2 4x + 3 > 0)

1. 化简不等式：不等式已经是标准形式。

2. 求解二次方程：(x2 4x + 3 = 0)，解得 (x_1 = 1)，(x_2 = 3)。

3. 确定根的顺序：(x_1 < x_2)。

4. 分析解集：因为 (a = 1 > 0)，所以解集是 ((-infty, 1) cup (3, +infty))。

通过以上步骤，我们可以解出各种一元二次不等式的解集。